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作家：Joseph Howlett

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一项新的评释注解，让数学家们离剖判「算术原子」素数的隐敝方法更近了一步。

素数，即「只可被它们我方和 1 整除的数」，不错说是数学中最基本的构成部分。

素数的好意思妙之处在于：乍一看，它们似乎无为散布在数轴上，但执行上并不是立时的，而是所有这个词细主张。仔细不雅察它们，就会发现多样奇怪的模式。

数学家们花了几个世纪的时辰试图解开这些模式。若是能更好地剖判素数是如何鉴别的，就能照亮数学宇宙的地广人希。

天然数学家们不错凭借一些公式苟简了解素数的位置，却照旧无法准确地找到它们，因此不得不选用更间接的法子。

公元前 300 年附近，欧几里得评释注解了素数的数目是无限的。尔后，数学家们以欧几里得的定理为基础，为顺应其他模范的素数评释注解了一样的说法。

举个浮浅的例子：是否有多数个不包含数字 7 的素数？

跟着时辰的推移，数学家们把这些模范变得越来越严格。通过评释注解仍然有无限多的素数得志这种越来越严格的限定，他们迟缓深入地了解素数的存在环境。但问题是，这类定理很难评释注解。

近日，来自牛津大学的 Ben Green 和哥伦比亚大学的 Mehtaab Sawhney 评释注解了一个终点具有挑战性的素数类型的定理 —— 是否存在无尽多个方法为 p² + 4q² 的素数，其中 p 和 q 也必须是素数？

Ben Green（左）和 Mehtaab Sawhney（右）。

这两位数学家的评释注解在本年 10 月份以预印本的方法发布，不仅加深了数学家对素数的剖判，还愚弄了数学中不同规模的一套器具，标明这些器具远比数学家们念念象的要高大得多，并有可能熟识地应用于其他规模。

论文标题：Primes of the form p² + nq²论文勾通：https://arxiv.org/pdf/2410.04189

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数学家老是倾向于研究那些复杂到足以引起兴味，但又浮浅到足以赢得进展的素数族。举例，他们可能试图评释注解有无限多个相距 500 个单元的素数。或者，咱们不错通过把其他数的泛泛相加，来建树无限多的素数。

临了一个拘谨终点灵验，它指示了几个世纪的数学向上。1640 年，费马（Pierre de Fermat）猜念念有无限多的素数不错通过两个整数的泛泛和相加来涌现。举例，素数 13 不错写成 2² + 3²。欧拉（Leonhard Euler）其后评释注解了这一猜念念。

然则，只须对问题稍作搬动：比如坚握要求其中一个泛泛数是奇数，或者是所有这个词泛泛数，问题就会变得更难。

Ben Green 涌现：「对一个长入的拘谨越多，找到其中的素数就越难。」

在 19 世纪，对这类定理的研究促进了当代数论的发展。在 20 世纪，它激勉了迄今为止最齐人攫金的数学工程之一：朗兰兹盘算。而在 21 世纪，对这类素数的研究不断产生新的工夫和主见。

2018 年，罗格斯大学的 Friedlander 和 Henryk Iwaniec 提倡了一个问题：是否存在无尽多个方法为 p² + 4q² 的素数，其中 p 和 q 也必须是素数？(举例 41 = 5² + 4 × 2².）

遵循发现，处理这一拘谨条目终点具有挑战性。但若是数学家们能处治这个问题，他们就能到手地对素数进行新一端倪的阻挡，而这恰是他们一直但愿作念到的。

一次有价值的拜访

Green 和 Sawhney 当年王人莫得玩过这种素数游戏，但他们王人有研究素数产生的奇特规矩的造就。

本年 7 月，两位数学家在爱丁堡的一次会议上相遇了。刚从研究生院毕业的 Sawhney 一直很珍摄 Green。

Green 20 年前评释注解的一个始创性遵循是将他带入这个学科的原因之一。Sawhney 涌现：「我那时就念念天啊，你如何能作念到这小数？」

同期，格林也对这位年青的数学家印象真切：「Mehtaab 是一位了得的数学家，他无所不知。」

两东说念主决定调和。他们只需要找到合适的问题。过程一番参议，他们最终细目了 Friedlander 和 Iwaniec 的猜念念。

Green 邀请 Sawhney 到牛津大学拜访一周。他们知说念，要评释注解雷同的猜念念，数学家们经常要依靠一套特定的计数工夫。但由于他们问题中的素数界说过于严格，二东说念主无法找出让这套传统器具发达作用的法子。

相背，他们但愿用一种更间接的神志来评释注解这一猜念念 —— 走一步数学棋。但率先，他们必须评释注解他们是不错走这步棋的。

在 Sawhney 拜访兑面前，他和 Green 仍是知说念了如何作念到这小数，从而评释注解了这个猜念念。为此，他们与数学的另一个规模建树了惊东说念主的磋磨。

尝试另一个长入

在 Green 和 Sawhney 看来，根底不行能通过磋议两个素数的泛泛并将其相加来径直磋议素数的数目。然则，若是他们略微减轻一下限定，遵循会如何？他们意志到他们不错处治一个略细小一些的版块 —— 其中被泛泛的数只需「苟简粗陋」是素数。

比较于素数，粗陋素数（rough prime）更容易找到。假定你要统计 1 到 200 之间有几许个粗陋素数。

率先，先望望最小的素数有哪些 ——2、3、5、7。然后列出扫数无法被这些素数整除的数。这些数即是粗陋素数。在这种情况下，你最终会得到 50 个粗陋素数：其中 46 个果真素数，而另外四个不是素数（121、143、169 和 187）。由于粗陋素数的鉴别的立时性远低于素数的鉴别，因此它们更容易处理。Sawhney 说：「粗陋素数是咱们远远愈加了解的长入。」

Tamar Ziegler 在素数方面的始创性责任使研究东说念主员大致将一种名为 Gowers 范数的数学工夫移植到一个新规模。

Green 和 Sawhney 仍是评释注解，通过对两个粗陋素数求泛泛并将它们相加不错得到无尽多个素数。目下他们只需评释注解这个述说示意了他们执行念念要处治的问题：存在无尽多个素数不错写成真确素数的泛泛和。

但这无法显而易眼力推导出来。他们必须为该问题的每个版块王人分析一个出奇的函数集 —— 称为 I 型与 II 型和（Type I and Type II sums），然后评释注解：岂论使用何种拘谨条目，这些和王人是等价的。只须这么，Green 和 Sawhney 才调知说念他们不错将粗陋素数代入他们的评释注解中，同期不丢失任何信息。

他们很慷慨志到：他们不错使用一个器具来评释注解这些和是等价的，况且他们各自之前王人在我方的研究责任中使用过这个器具。这个器具被称为 Gowers 范数，是数学家 Timothy Gowers 几十年前招引的，底本是用于度量一个函数或数集的立时或结构化进程。从名义上看，Gowers 范数似乎属于所有这个词不同的数学规模。Sawhney 说：「不了解它的东说念主险些无法看出这些东西存在关联。」

但使用数学家陶哲轩和 Tamar Ziegler 在 2018 年评释注解的里程碑遵循，Green 和 Sawhney 发现了一种法子来建树 Gowers 范数与 I 型与 II 型和之间的磋磨。实质上，他们需要使用 Gowers 范数来评释注解他们的两组素数填塞相似，即使用粗陋素数构建的长入和使用实素数构建的长入。

事实评释注解，Sawhney 知说念该如何作念。本年早些时候，为了处治一个与之无关的问题，他招引了一种使用 Gowers 范数比较长入的工夫。他没念念到的是，该工夫足以评释注解这两个长入具有探求的 I 型和 II 型和。

工夫在手，Green 和 Sawhney 评释注解了 Friedlander 和 Iwaniec 的猜念念：不错写成 p² + 4q² 方法的素数有无尽多个。临了，他们还到手彭胀了他们的遵循，评释注解了：其它素数族的素数也有无尽多个。关于这类进展经常很惨酷的问题而言，这确凿是一个要紧阻扰。

更蹙迫的是，这项责任标明 Gowers 范数不错行动一个新规模的高大器具。Friedlander 说：「因为它是如斯新颖，至少在数论的这个部分，它有可能作念到许多其他的事情。」数学家们目下但愿进一步扩大 Gowers 范数的规模 —— 尝试用它来处治数论中素数计数问题以外的其他问题。

「看到我当年念念到的东西有了出东说念主预念念的新应用，我感到很道理。」Ziegler 说，「这就像为东说念主父母，当你放开孩子，他们长大后会作念出好意思妙而出东说念主预念念的事情。」

原文勾通：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-uncover-a-new-way-to-count-prime-numbers-20241211/